人事職が転職する上で、必要最低限な条件はあるのでしょうか？

最初に、転職によって、何を叶えたいか、現職のどんな問題点を解消したいかをはっきりさせる必要があると思います。
目的がはっきりすれば、それを達成するのに、何が必要なのか（必要最低条件）にたどりつきやすいと思います。
転職すること自体は目的ではないはずですので…

人事職の経験をベースに、さらにステップアップをされたいという想いがおありだと思いますので、まずは、ご自身の人事経験・スキルの振り返りをされてみてはいかがでしょうか。

企業毎に違いがありますし、様々な見解がございますが、人事の仕事内容は、①採用②育成③労務に大別されます。
それぞれ簡単に説明すると以下のようになります。

①採用は、新卒／中途、正社員／非正社員の担当領域に分かれます。仕事の進め方も受動的（社内採用オーダーを広報）／主体的（経営目標を起点に人事戦略を策定実行）等に分類できます。

②育成も、新入社員／既存社員、若手／ミドル／経営層、スキル系／マインド系、職種・部門別／組織全体等の種別の育成があり、運用的に関わったか／主導してきたかという分け方ができます。

③労務系には、雇用管理、評価管理、給与、勤怠、社保、社内規定、健康管理等があります。

上記の観点を参考に、転職の目的とご自身の経歴を整理してみてください。

加えて、その仕事の醍醐味、上手くいったこと／思うようにすすまなかったこと、乗り越えた壁、それぞれの背景・要因などに注目して振り返りができれば、さらに良いです。
簡単ではないですが、是非チャレンジしてみてください。
質の高い自己のキャリア整理ができれば、目当ての求人ポジションの募集要項と簡単に照合できます。

学歴の件は、影響がないと言えば嘘になります。
特に新卒採用は、大学の受験偏差値までも重視される企業も多いです。
ただ、すぐには変えられないものですので、学歴よりも経験を重視する会社を探すべきと言えます。

以上、参考まで。
長文失礼しました。